2 × 2 博弈 · 策略决策
纳什均衡计算器
填入双方收益，找出最佳反应与谁都不愿单独改变的策略组合。
02 查看结果
当前情景| A / B | 列1 | 列2 |
|---|---|---|
| 行1 | 1.00, -1.00A 最佳 | -1.00, 1.00B 最佳 |
| 行2 | -1.00, 1.00B 最佳 | 1.00, -1.00A 最佳 |
- 纯策略均衡
- 无纯策略均衡
- A 选行1的概率
- 50.00%
- B 选列1的概率
- 50.00%
- 混合均衡收益 A / B
- 0.00 / 0.00
给定收益下找到 0 个纯策略均衡和 1 个内部混合均衡。均衡不等于共同收益最优。
计算步骤与输入摘要
- 逐格比较：固定对方策略时，自己改变策略不能增加收益。
- p=(h−g)/(e−f−g+h)，q=(d−b)/(a−b−c+d)。
- 仅显示0<p,q<1且回代使双方无差异的内部混合解；无纯均衡不代表无纳什均衡。
- 玩家 A · 行策略收益 · 行1 / 列1 · A 收益
- 1.00收益
- 玩家 A · 行策略收益 · 行1 / 列2 · A 收益
- -1.00收益
- 玩家 A · 行策略收益 · 行2 / 列1 · A 收益
- -1.00收益
- 玩家 A · 行策略收益 · 行2 / 列2 · A 收益
- 1.00收益
- 玩家 B · 列策略收益 · 行1 / 列1 · B 收益
- -1.00收益
- 玩家 B · 列策略收益 · 行1 / 列2 · B 收益
- 1.00收益
- 玩家 B · 列策略收益 · 行2 / 列1 · B 收益
- 1.00收益
- 玩家 B · 列策略收益 · 行2 / 列2 · B 收益
- -1.00收益
实用解读
无纯策略均衡，但存在 1 个混合均衡。没有哪个策略组合能让双方都不想变——博弈结果可能不稳定。仅基于输入假设，不构成投资或经营建议。
分享链接包含输入金额，请确认愿意公开。需要留档？下方可生成 Pro PDF。
仅支持双人2×2给定收益博弈；不枚举连续混合均衡。均衡不等于共同最优，也不是现实行为预测。
纳什均衡与博弈论：核心思想
1950 年约翰·纳什在博士论文中证明了一个基础性定理：任何有限博弈（有限个参与者、有限个策略）都至少存在一个均衡点——即一组策略，使得每个参与者在其他人策略固定时都没有单方面改变自己策略的动力。这个概念后来被称为纳什均衡。它的核心洞察是"稳定"而非"最优"：均衡描述的是没有人想偏离的状态，而不是所有人总收益最高的状态。囚徒困境就是最经典的例证——双方都选择不合作是均衡，但双方合作的总收益更高。纳什均衡可以是纯策略（每人确定性地选择一个行动）或混合策略（按概率分布随机选择）。在2×2博弈中，纯策略均衡通过最佳反应比较直接判定：固定一方的策略，看另一方哪个选择的收益更高。混合策略均衡则要求每个参与者的混合概率恰好使对方在自己的各个纯策略之间"无差异"——即无论选什么期望收益都一样。这一概念已成为经济学、政治学、进化生物学和计算机科学中分析策略互动的基础工具。
关键假设
- 所有参与者完全理性，能够计算并选择使自身收益最大化的策略
- 收益值是已知的共同知识——每个人都知道所有人的收益矩阵，且知道别人也知道
- 参与者同时行动，不能观察对方的选择后再做决定
- 博弈是一次性的，不考虑重复博弈中的声誉、报复或学习效应
- 收益数字是基数效用，可以直接比较大小，不涉及风险态度或非线性偏好
适用边界
纳什均衡只保证"没人想单独偏离"，不保证是社会最优或帕累托有效的结果。当存在多个均衡时，理论本身不告诉我们哪一个会被选中——这需要额外的协调机制或均衡选择理论。在现实中，信息不对称、有限理性、重复交互和沟通都会影响实际结果。此外，混合策略均衡的现实解释在学术界仍有争议——"按概率随机选择"究竟是个体行为还是群体频率的描述，各家说法不同。
工具与理论的对应关系
本工具实现了2×2正规型博弈的完整均衡求解：输入4个策略组合下两位参与者各自的收益（共8个数字），计算所有纯策略纳什均衡（通过最佳反应比较）以及是否存在唯一内部混合策略均衡（通过令对方无差异的概率方程，并验证概率严格在0和1之间）。工具不处理序贯博弈、信息不对称博弈、多人博弈或策略空间大于2×2的情形——这些需要更复杂的扩展型博弈分析。
这个工具能做什么
依据双人2×2非合作博弈的最佳反应条件，输入双方8个收益值，枚举纯策略纳什均衡并求解可验证的内部混合均衡，展示选择概率与期望收益。支持负收益、退化情形提示、结果复制、CSV下载、参数分享与本地恢复；Pro提供含收益矩阵和计算步骤的A4报告，适用于博弈教学和经营策略情景比较。
- — 输入8个收益值
- — 标记双方最佳反应
- — 枚举4个格子的纯均衡
- — 验证内部混合均衡
如何使用
- 1. 从默认示例开始，将金额、收益或概率替换为同一口径的数据。
- 2. 点击「计算结果」，先看结论，再展开公式和输入摘要核对。
- 3. 修改一个参数重新计算，观察变化；复制、下载 CSV，或主动分享参数链接。
- 4. 需要打印或发送时，在 Pro 区生成包含公式与假设的 PDF。
适用场景
- — 用匹配硬币理解混合策略
- — 比较合作与竞争的收益结构
- — 课堂核对2×2均衡和最佳反应
常见问题
2×2纳什均衡怎么计算？
先输入玩家 A 和 B 在4个策略组合下的收益，共8个数字。固定 B 的列策略，比较 A 的两行收益；固定 A 的行策略，比较 B 的两列收益。双方在同一格都没有单独改变策略的收益提升时，该格就是纯策略均衡。工具标记最佳反应，并进一步检验是否存在概率严格在0与1之间的内部混合解。
没有纯策略均衡，可以说没有纳什均衡吗？
不可以。默认的匹配硬币例子没有纯策略均衡，但双方各以50%的概率选择第一策略时可构成混合均衡，此时双方期望收益均为0。页面会把纯策略搜索结果和内部混合解分开显示。若矩阵存在退化或连续混合均衡，工具会说明未枚举的范围，而不是用无纯均衡代替无纳什均衡。
混合策略的概率是多少，为什么能让对方无差异？
设 A 的收益按行排列为a、b、c、d，B为e、f、g、h，A选行1的概率p＝(h−g)/(e−f−g＋h)，B选列1的概率q＝(d−b)/(a−b−c＋d)。分母非零且概率严格在0与1之间时，回代验证双方期望收益无差异；不满足条件的数值不会作为内部混合均衡展示。
均衡和双方总收益最优有什么区别？
均衡考察固定对方选择时，自己是否愿意单独改变策略；共同最优则比较双方总收益，两者目标并不相同。囚徒困境中，双方都选择不合作可能是均衡，但一起合作的总收益可能更高。工具只分析你输入的8个收益值，不预测真实谈判结果，也不会把某个均衡标注为现实中的最佳经营方案。
计算结果可以免费复制、下载和分享吗？
可以。无需登录即可计算、复制结果或下载 CSV 文件；点击分享会生成包含当前输入参数的链接，接收者打开后重新计算。链接会公开其中的输入金额，请先确认愿意分享这些数值。Pro 用户还可导出包含输入、步骤、结果与假设的 A4 PDF 报告，用于打印或留档。
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理论依据：2 × 2 博弈 · 策略决策 · 原始资料。页面计算为明确假设下的简化应用。
这个工具解决你的问题了吗？