LINEAR REGRESSION
线性回归分析器
从两列数据到一条可信的趋势线。拟合方程、检查残差，再带着区间做预测。
01输入数据
X → Y02模型结果
8 个观测 · OLS 含截距拟合方程
ŷ = 1.1393 + 0.8524 × x
- 决定系数 R²
- 0.9922
- 调整 R²
- 0.9909
- Pearson r
- 0.9961
- 均方根误差 RMSE
- 0.1731
保存摘要用于复核，或导出 Pro PDF 报告用于打印与发送。
2 个观测触发诊断参考阈值，请核对原始记录；不要仅凭标记删除数据。
预测一个新观测
样本 X 范围：1 ~ 8预测值 ŷ
6.2536
95% 均值置信区间
6.0469 ~ 6.4603
95% 单次观测预测区间
5.7226 ~ 6.7846
均值区间描述同一 X 下的平均响应；预测区间还包含单个观测的随机波动，因此通常更宽。
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线性回归分析报告 · 在线工具集 模型：含截距的一元普通最小二乘（OLS） ŷ = 1.1393 + 0.8524 × x n = 8；残差自由度 = 6；R² = 0.9922；调整 R² = 0.9909；Pearson r = 0.9961 RMSE = 0.1731（√SSE/n）；残差标准误 RSE = 0.1999（√SSE/(n−2)） 斜率双侧 p 值：< 0.0001；95% 置信区间：[0.7769, 0.9279] 截距双侧 p 值：0.0003；95% 置信区间：[0.7582, 1.5204] 预测 X = 6：ŷ = 6.2536 95% 均值置信区间：[6.0469, 6.4603]；单次观测预测区间：[5.7226, 6.7846] 2 个观测触发诊断参考阈值，请核对原始记录；不要仅凭标记删除数据。 推断前提：线性关系、独立且同方差误差；小样本推断依赖误差近似正态。相关不代表因果，— 表示不适用。 https://www.tooljson.com/math/linear-regression
这个工具能做什么
对一个自变量 X 和一个因变量 Y 建立含截距的最小二乘模型。用拟合方程与 R² 概括趋势，用系数检验和残差诊断检查模型，再估计新观测的范围。
怎么完成一次分析
- 粘贴两列数据，有列名时勾选跳过。
- 选置信水平，运行分析并检查残差。
- 输入预测 X，复制或导出结果复核。
适用场景与边界
适合实验标定、课程作业和业务趋势探索。当前只支持一元含截距回归；推断依赖线性、独立且同方差的误差，小样本还需误差近似正态。高 R² 不证明因果，外推需谨慎。
线性回归常见问题
线性回归方程怎么算，最少需要多少组数据？
本工具拟合含截距的一元模型 y=b₀+b₁x。普通最小二乘法使用 b₁=Σ(x−x̄)(y−ȳ)/Σ(x−x̄)²，b₀=ȳ−b₁x̄。至少需要2对数据且X不能全部相同；系数检验及区间估计需要至少3对数据和非零残差方差。先用示例核对输入，再替换为同单位的观测。
Excel 两列数据怎么导入，可以保留列名吗？
复制Excel的X、Y两列后直接粘贴，或导入CSV、TSV、TXT文件。支持逗号、制表符、分号或空格分隔，每行必须有2个完整的有限数值；有列名时勾选「首行是列名」。上限为5000对数据和250 KB文件。缺失字段会指出行号，不会自动补0或忽略坏行；#开头的行作为注释。
R² 是多少才算好，和 Pearson r 有什么区别？
含截距回归的R²=1−SSE/SST，描述模型解释Y样本变异的比例，没有适用于所有领域的合格阈值。Pearson r还带有正负方向，一元含截距模型中R²=r²。例如r=−0.8对应R²=0.64。Y为常数时两者均不定义；高R²也不能证明因果、排除异常点或保证外推可靠。
RMSE 和残差标准误 RSE 的区别是什么？
本工具明确区分2个分母：训练集RMSE=√(SSE/n)，残差标准误RSE=√(SSE/(n−2))，其中n−2扣除了截距和斜率消耗的自由度。MSE指SSE/(n−2)，是误差方差估计。两点拟合没有剩余自由度，RSE与推断不适用。跨软件比较时，应先核对分母和是否包含截距。
95% 置信区间和预测区间有什么区别，可以改成99%吗？
可以选择90%、95%或99%后重新分析。令s=RSE、h=1/n+(x₀−x̄)²/Sxx，均值区间为ŷ±t·s√h，单次观测预测区间为ŷ±t·s√(1+h)，t取自由度n−2的双侧临界值。后者包含新观测的随机波动，通常更宽。图中的带状区域为逐点均值置信区间，并非整条直线的同时置信带。
p 值怎么解读，异常点可以直接删除吗？
系数p值检验H₀：该系数等于0，采用自由度n−2的双侧t检验。它不是原假设成立的概率，也不衡量业务影响大小。标准化残差绝对值大于2、杠杆值大于4/n或Cook距离大于4/n仅作为复核线索。应先检查录入、测量过程和研究设计，不能为了提高R²而直接删除被标记的数据。
分析结果怎么分享，登录或升级后需要重新输入吗？
点击「分享链接」会复制包含数据、预测X、置信水平和显示精度的参数链接，接收者打开后自动重新计算。输入还会保存在当前浏览器，登录或升级后返回可恢复，分享链接优先于本地草稿。链接超过12000字符时请改用CSV。链接含原始数据，仅分享适合公开或向接收者披露的内容。
回归报告可以下载PDF吗，数据会上传吗？
摘要复制、CSV诊断明细、TXT报告和当前图表PNG均可直接使用。Pro用户可导出A4 PDF，包含模型摘要、参数与预测区间、当前图表和全部观测诊断，长内容自动分页。拟合与导出在浏览器内完成，不将观测上传计算服务器；数据保存在本地设备，分享链接会将输入交给获得链接的人。
方法参考：NIST · 最小二乘法、NIST · 单次响应预测区间、Penn State · 影响点诊断。数值使用双精度浮点运算，显示精度不会改变计算精度。
这个工具解决你的问题了吗？